TIPOS DE PARÁBOLA

ECUACIÓN GENERAL DE LA PARÁBOLA.

Aceptamos el significado de general como la parábola cuyo vértice no está situado en el origen de coordenadas.

Supongamos que el vértice de una parábola cuando su eje focal es paralelo al eje Y se halla situado en el punto (h,k).

Para llegar a dicha expresión o forma general, es necesario desarrollar  algebraicamente la forma ordinaria o canónica de la ecuación.

Tomando como ejemplo la forma:

(x – h)² = 4p(y – k)

Desarrollando resulta:

x² – 2hx + h² = 4py – 4pk

x² – 2hx + h² – 4py + 4pk = 0

Multiplicando la ecuación por un coeficiente “A” con la intención de generalizar, y considerando A ≠ 0, tendremos:

Ax² – 2Ahx + Ah² – 4Apy + 4Apk = 0

Reordenando:

Ax² – 4Apy – 2Ahx – Ah² + 4Apk = 0

Ax² – 4Apy – 2Ahx + A(h² + 4pk) = 0

Haciendo que los coeficientes de las variables sean:

–4Ap = B

–2Ah = C

A(h² + 4pk) = D

Sustituyendo los coeficientes B, C y D en la ecuación, nos queda

Ax2 + Bx + Cy + D = 0

que es la ecuación de una parábola horizontal en su forma general.

Análogamente, para una parábola de orientación vertical, la ecuación en su forma general será:

Ay2 + Bx + Cy + D = 0

 EJEMPLO.

Una parábola tiene vértice en el punto (–4, 2), y su directriz es y = 5, encuentre su ecuación y exprésela en la forma general.

Desarrollo

Analizando las coordenadas del vértice y la posición de la directriz, se puede concluir que:

a) La directriz es paralela al eje de las abscisas, por lo tanto la posición de la parábola es vertical.

b) La directriz corta al eje de las ordenadas en un valor (5) mayor que la ordenada del vértice (2), por lo tanto la parábola se  abre hacia abajo (sentido negativo del eje de las Y).

c) Las coordenadas del vértice no corresponden con las del origen.

d) Dado lo anterior, se trata entonces de una parábola cuya ecuación ordinaria o canónica es del tipo:

(x – h)2 = –4p (y – k)

De las coordenadas del vértice se obtiene:

h = –4

k = 2

Se obtiene p por diferencia entre las ordenadas del vértice y de la directriz, resultando:

p = 5 – 2

p = 3

Sustituyendo valores en la ecuación ordinaria, resulta:

(x – h)² = –4p(y – k)

(x – (–4))² = –4 (3) (y – (+2))

(x + 4)² = –12(y – 2)

(x + 4)² = –12y + 24

Desarrollando el binomio al cuadrado

(x + 4) (x + 4) = x² + 8x + 16

x² + 8x + 16 = +12y – 24

Simplificando e igualando a cero la ecuación se tiene:

x² + 8x + 16 + 12y – 24 = 0

x² + 8x + 12y – 8 = 0

Que es la ecuación buscada.

Calcular los parámetros de la parábola  si nos dan su ecuación general.

Reducción de la ecuación de una parábola

Dada una ecuación del tipo

Ax² + Bx + Cy + D = 0

o del tipo

Ay² + Bx + Cy + D = 0,

siempre es posible reducir la ecuación de una parábola. Para ello se completa un cuadrado y se manipula adecuadamente el otro miembro.

TIPOS DE PARÁBOLA

PARÁBOLA CON CENTRO FUERA DEL ORIGEN.

Parábola Horizontal con Vértice V(h,k) fuera del origen, eje de simetría paralelo al de coordenadas X, y cuyo Foco está a una distancia p del vértice y a la derecha de él.
Como la distancia PF = distancia PM = Ecuación de la Directriz

Elevando al cuadrado ambos miembros:

[X - (h + p)]2 + (y - k)2 = [X - (h - p)]2

Desarrollando y simplificando

X2 - 2X(h + p) + (h + p)2 + (y - k)2 = X2 - 2X(h - p) + (h - p)2

X2 - 2X(h + p) + h2 + 2hp + p2 + (y - k)2 = X2 - 2X(h - p) + h2 - 2hp + p2

X2 - 2Xh - 2Xp + h2 + 2hp + p2 + (y - k)2 = X2 - 2Xh + 2Xp + h2 - 2hp + p2

-2Xp + 2hp + (y - k)2 = 2Xp - 2hp

(y - k)2 = 2Xp - 2hp - 2Xp + 2hp

(y - k)2 = 4Xp - 4hp

(y - k)2 = 4p(X - h)

Si desarrollamos la ecuación anterior, se obtiene:

y2 - 2yk + k2 = 4xp - 4hp

y2 - 2yk + k2 + 4hp - 4xp = 0

Si D = -2k, E = - 4p, F = k2 + 4hp, se obtienen la fórmula:

y2 + Dy +Ex + F = 0

Parábola Vertical de Vértice V(h,k) fuera del Origen, eje de simetría paralelo al eje Y, y cuyo Foco está a una distancia p del Vértice:

Aplicando la PF= PM = Ecuación de la Directriz

Elevando al cuadrado y simplificando:

(X - h)2 + [y - (k + p)]2 = [y - (k - p)]2

(X - h)2 + y2 - 2y(k + p) + (k + p)2 = y2 - 2y(k - p) + (k - p)2

(X - h)2 + y2 - 2yk - 2yp + k2 + 2kp + p2 = y2 - 2yk + 2yp + k2 - 2kp + p2

(X - h)2 - 2yp + 2kp = 2yp - 2kp

(X - h)2 = 2yp - 2kp + 2yp - 2kp

(X - h)2 = 4yp - 4kp

(X - h)2 = 4p(y - k)

Desarrollando el binomio y simplificando la ecuación anterior se tiene:

X2 - 2xh + h2 = 4yp - 4kp

X2 - 2xh + h2 - 4yp + 4kp = 0

Haciendo D = -2h, E = -4p, F = 4kp + h2, se obtiene la ecuación:

X2 + Dx + Ey + F = 0

EJEMPLO.

Obtener la ecuación, el foco y la directriz de la parábola  con vértice en el origen y  contiene al punto B(3,4), además su eje focal es paralelo al eje X. 

Resolución:  Sustituyendo las coordenadas del punto B en la ecuación.

y   =  4px :

16 = 4p(3)

p=16/12=4/3

y2= 16/3x

Foco:   F (4/3,0) Directriz: x= -4/3

TIPOS DE PARÁBOLA

PARÁBOLA CON VÉRTICE EN EL ORIGEN. 

Una parábola cuyo vértice está en el origen y su eje coincide con el eje de las ordenadas, tiene una ecuación de la forma y=ax2 donde el parámetro a especifica la escala de la parábola, incorrectamente descrita como la forma de la parábola, ya que como se dijo antes, todas las parábolas tienen la misma forma. Cuando el parámetro es positivo, la parábola se abre «hacia arriba» y cuando es negativo se abre «hacia abajo».

 

Consideremos el caso especial en que el vértice es (0,0) y el foco es (P,0). La directriz es por tanto, la recta vertical que pasa por (-P,0). A la distancia entre el vértice y el foco se le llama distancia focal, de modo que en este caso la distancia focal es igual a p. Con esta configuración se tiene:

 

La ecuación de una parábola con vértice en (0,0). A continuación se muestran las fórmulas que se utilizan para el cálculo de ecuaciones, coordenadas del foco y la directriz.  

                                                                                

 

NOTA: Recuerda que siempre la parábola va a abrir hacia donde esta el foco por lo que si el foco tiene coordenadas negativas puede abrir hacia abajo o hacia la izquierda, sin embargo si el foco es positivo puede abrir hacia arriba o hacia la derecha.

EJEMPLO.

Dada la parábola y cuadrada = 8x calcular su vértice, su foco y la recta directriz.

2p= 8  p/2 = 2

V (0,0)             F (2,0)                x= -2

PARÁBOLA

LA PARÁBOLA.

Definición.

Es el lugar geométrico de los puntos del plano tales que sus distancias a un 

punto fijo llamado foco y a una recta fija llamada directriz son iguales.

 

Características geométricas.

Vértice.  Es el punto donde la parábola corta a su eje focal. 

Foco. Es un punto que se encuentra situado sobre el eje focal y la distancia 

que se encuentra del vértice al foco, es la misma que del vértice a la Directriz.

Lado recto. La cuerda, perpendicular al eje focal, que contiene al foco y corta a 

dos puntos de la parábola.

Directriz.  Línea recta  donde la  dist (P, F)= dist (P, D);  PF PD = . Ver figura 1. 

Eje focal.   Recta que contiene  el foco y es perpendicular a la directriz. 

Parámetro p. Distancia del foco al vértice.

CIRCUNFERENCIA Y SUS ECUACIONES

Circunferencia y sus ecuaciones

Para empezar este tema, vamos a definir qué es una circunferencia:

Circunferencia: Es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistas de un punto fijo llamado centro.

En palabras más sencillas, es una figura donde todos  los puntos se encuentran a una misma distancia del centro

El círculo es muy usado en la actualidad y tiene muchos usos, en geometría analítica lo representamos con dos fórmulas, la fórmula canónica de la circunferencia y la forma general de la ecuación de la circunferencia.

1-Forma canónica de la circunferencia

Esta fórmula es muy sencilla, es la siguiente:



Esta fórmula nos indica dos cosas:

El centro del a circunferencia, indicado por h y k, donde estos números serían las coordenadas del centro C(h,k); también nos indica el radio, representado por R . Si quisiéramos saber cuál es el centro y su radio, haríamos lo siguiente

(x-4)2 + (y +3)2= 9

Para sacar el centro, tomamos los números que están entre paréntesis, que son los valores de h y k. Como en la forma canónica tenemos un signo negativo enfrente de los números, eso nos quiere decir que para tener el centro basta con tomar los números entre paréntesis con su signo contrario, por lo que el centro sería:

(4,-3)

Ahora, para sacar el radio es todavía más sencillo, simplemente tomamos el número que está seguido del signo igual y sacamos su raíz cuadrada, hacemos esto porque en la forma canónica tenemos R2,  por los que si quisiéramos saber el valor del radio sólo basta con hacer lo siguiente:

√9 = 3

R= 3

En caso de que el centro fuera el origen (0,0), la fórmula queda de la siguiente manera:

2-Forma general de la circunferencia

La forma general de la circunferencia es la siguiente:



Ésta surge de desarrollar la forma canónica, aquí tenemos el despeje:

(x – h)2 + (y – k)2 = r2

Lo que tenemos aquí son dos binomios al cuadrado, y un binomio al cuadrado desarrollado queda de la siguiente manera:

(a + b)2 = a2 + 2ab +  b2

(a – b)2 = a2 – 2ab +  b2

Por lo que siguiendo estas reglas nos queda

x2 – 2hx + h2 +y2 -2ky + k2 = r2

x2 – 2hx + h2 +y2 -2ky + k2 –  r2 =0

Si lo ordenamos queda:

x2 + y2 – 2hx – 2ky + (h2 + k2 – r2) = 0

Y si a=2h              b= – 2k      y        c= h2 + k2 – r2

Entonces si queda

x2 + y2 +ax + by + c =0

3-Convertir de forma general a forma canónica

Para hacer esto, se sigue el siguiente procedimiento, aquí tenemos un ejemplo:

x2 + y2 -14x -20y + 68 = 0

Lo primero que hacemos es que juntamos las x con las x y las y con las y y pasamos el término libre al otro lado

x2 -14x + y2-20y = – 68

Ahora vamos a dividir los coeficientes de x y y lo elevamos al cuadrado, en este caso 14 y 20, tendríamos:

14/2 = 7

72 = 49

20/2= 10

102= 100

Lo que vamos a hacer con estos números es completar el trinomio cuadrado perfecto (El resultante de desarrollar (a2 + b2)) y también pasar esos números al otro lado de la ecuación.

(x2 -14x +49) + ( y2-20y + 100) = – 68 + 49 + 100

Ahora factorizamos los trinomios cuadrados perfectos y sumamos el otro lado de la ecuación, para factorizar un trinomio cuadrado perfecto simplemente sacamos las raíces cuadradas de los extremos y tomamos el símbolo del segundo término:

a2 + 2ab +  b2 =(a + b)2

a2 – 2ab +  b2 =(a – b)2

Entonces tenemos:

(x – 7)2 + (y – 10)2 =81

4-Datos importantes

Si  el radio es positivo, entonces la circunferencia es real.

Si el radio es negativo, la circunferencia es imaginaria.

Si el radio es cero, entonces la fórmula sólo está representando al punto (h,k)

RECTA SUBTEMAS

FORMA REDUCIDA.

Apoyándonos de las anteriores formas de ecuación de la recta, llegaremos a la siguiente forma que es la ecuación reducida.

FORMULA.

x/a + y/b = 1

y - y1 / x - x1 = y1 - y2/ x1 - x2

y - 2/ x - 3  =  3/-3 

y - 2 / x - 3 = -1

y - 2 = -1 (x-3) Ec. Pto, P

y - y1 = m (x-x1)

y= -x + 3 + 2 

y= -x + 5 P.O.O

y= mx + b

m= -1

b= 5

x + y - 5 = 0 Ec. Gral

De la ecuación general.

x + y - 5 = 0

x + 0 - 5 = 0

x - 5 = 0

x = 5

x/a + y/b = 1

x/5 + y/5 = 1 Ec. Reducida

RECTA APLICACIÓN

PROBLEMAS DE APLICACIÓN.

Para resolver un problema de aplicación se debe diseñar un esquema que muestre gráficamente las variables del problema y posteriormente indicar el modelo matemático del problema.

EJEMPLO.

Un edificio de 40 mts de altura une su punto mas alto con otro edificio de 32 mts de altura que se encuentra separado a una distancia de 30 mts indique la ecuación pendiente ordenada al origen que describe la unión de los 2 edificios. Indique la altura de la recta a 10 mts del edificio más alto.

Solución:

 Utilizaremos la formula 

Y - Y1/ X - X1  =  Y1 - Y2/ X1 - X2

y - 40 / x - 0 = 40 - 32 / 0 - 50 

y - 40 / x - 0 = 8/ -50

y= -4/ 25 (10) + 40 

y = -40/ 25 + 40

y= 38.4 m 

La altura a 10 mts del edificio es de 38.4 mts

RECTA SUBTEMAS

ECUACIÓN PUNTO PENDIENTE

Partiendo de la ecuación continua la recta

Y quitando denominadores:

Y despejando:

Como:

Se obtiene:

      

EJEMPLO.

Una recta pasa por el punto (-3, -5) y el punto (2,1), indique las 4 formas de la recta y grafique.

y + 5/x - 3   -   -5 - 1/ 3 - 2

y + 5 = (x-3) (-6/5)

y + 5 = -6/5x + 18/5

y= -6/5x + 7/5 P.O.O

6/5x  +  y -7/5 = 0 Ec. Gral

y + 5 = -6/5 (x-3) Ec. Pto. P

Se gráfica de la siguiente manera.

RECTA SUBTEMAS

ECUACIÓN 2 PUNTOS.

Dados dos puntos de la recta (punto 1(x1,y1) y punto 2 (x2,y2)) podemos encontrar la ecuacion de la recta o función lineal

Lo primero es hallar la pendiente de la recta (m) utilizamos la formula:

Donde x1 y y1 son las coordenadas del punto uno (1) y x2 y y2 las coordenadas del punto dos (2).

Después encontramos el valor de b, una vez se remplace m en la ecuación sustituimos los valores de x y de y por los valores de las coordenadas de uno de los puntos, sea el uno o el dos, el que ustedes deseen, y despejamos b para así obtener su valor.

EJEMPLO.

Una empresa que presta el servicio de gas tiene una cuota fija por servicio, además cobra cierto valor por metro cubico consumido. Si por 25 m3 cobran $ 22.000 y por 32 m3 $ 27.600, encontrar el valor del metro cubico consumido y la cuota fija.

SOLUCIÓN.

• Hallamos el valor de la pendiente de la recta (m).

                                              

• Para esto definimos los puntos, el punto uno (1) es ( 25 , 22.000 )

      y el punto dos (2) es ( 32 , 27.600 )

•     Por lo que   m = 800
• Ahora con la ecuación canónica y el valor de m obtenemos el valor de b.

      y = mx + b                  m = 800

      y = 800x + b               ecuación (A)

• Tomamos un punto ya sea ( 22 , 22.000 ) o ( 32 , 27.600 ) (yo tomare el primero pero tú puedes usar cualquiera de los dos), y los remplazo por x y y en la ecuación (A) quedándome:

        y  =  800 x    + b

22.000 =  800(22) + b                 realizando la multiplicación de 800x22 nos queda

22.000 =  20.000  + b                 y despejando b tenemos

b = 22.000 – 20.000 = 2.000      b = 2.000

• De lo anterior tenemos que m = 800 y b = 2.000, quedando la ecuación canónica así:

y = 800X + 2.000. El valor del metro cubico de gas es de $ 800 y la cuota fija de $ 2.000.

 Si queremos hacer la gráfica (en el plano cartesiano) de la función tomamos los dos puntos dados y los ubicamos así:

RECTA SUBTEMAS

FORMA GENERAL.

Ecuación general de la recta

Esta es una de las formas de representar la ecuación de la recta.

De acuerdo a uno de los postulados de la Geometría Euclidiana, para determinar una línea recta sólo es necesario conocer dos puntos (A y B) de un plano (en un plano cartesiano), con abscisas (x) y ordenadas (y).

Ahora bien, conocidos esos dos puntos, todas las rectas del plano, sin excepción, quedan incluidas en la ecuación

Ax + By + C = 0

Que también puede escribirse como

ax + by + c = 0

Y que se conoce como: la ecuación general de la línea recta, como lo afirma el siguiente:

Teorema

La ecuación general de primer grado Ax + By + C = 0, donde A, B, C pertenecen a los números reales  y en que A y B no son simultáneamente nulos, representa una línea recta.

EJEMPLO.

Hallar la ecuación de la recta que tiene pendiente m = 3 e intercepto b = 10.

Tenemos que hallar la ecuación de la recta, esto es, y = mx + b.

Usamos la información que tenemos:

m = 3  y  b = 10 y sustituimos en la ecuación

y = 3x + 10.

La ecuación que se pide es y = 3x + 10.

Nótese que esta forma principal (simplificada o explícita) también podemos expresarla como una ecuación general:

y – 3x – 10 = 0, la cual amplificamos por –1, quedando como

– y + 3x + 10 = 0, que luego ordenamos, para quedar

3x – y  +  10 = 0  

RECTA SUBTEMAS

PENDIENTE ORDENADA AL ORIGEN.

Ecuación de la línea recta con pendiente y ordenada en el origen.

Sea una recta con pendiente m que intersecta al eje y en el punto (O,b), siendo b la ordenada al origen y sea P(X,Y) otro punto de la recta como se indica en la figura:

Aplicamos la fórmula de la pendiente:

Despejando y tendremos la ecuación de la recta de pendiente-ordenada en el origen (intersección).

y = mx + b

EJEMPLO.

a         2x – 4y = 6

    

       y= 6-2x / 4

       y= 6/-4 + 2/4x

       y= -3/2 + 1/2x

       y= 1/2x - 3/2

        De la Ecuación Pendiente Ordenada al origen.

       m= 1/2

       angulo= tg-1 (1/2) = 26.26 °

       b= -3/2 

       

       Se gráfica de la siguiente manera:

        

y   

RECTA

IDENTIFICAR LA ECUACIÓN DE LA RECTA.

Se debe conocer el valor de la pendiente y el punto donde esta corta, este se presenta despejando a la ordenada de la ecuación.