TERCER PARCIAL

ECUACIONES EN SISTEMAS POLARES.

OBJETIVO. Graficar caracoles, rosas, lemins catas y espirales.

ECUACIONES.

·         CARACOLES        r= a ± b cos Ɵ

                                r= a ± b sen Ɵ

CASO I                  Cardiodes                IaI = (b)

CASO II                Caracol sin rizo       IaI ˃ IbI

CASO III              Caracol con rizo     IaI  ˂ IbI

·         

     ROSAS                     r= a cos (nƟ)

                                  r= a sen (nƟ)

n= par                      petalos = 2n

n= impar                 petalos = n

·         

      LEMINSCATAS       r ² = a cos2Ɵ

                                    r² = a sen2Ɵ

·         

      ESPIRALES             r= aƟ

EJEMPLOS.

ROSA DE CUATRO HOJAS/PÉTALOS

Este tipo de gráfico se conoce como Rosa de cuatro pétalos. Es fácil ver cómo se forma una figura parecida a una rosa con cuatro pétalos. La función para este gráfico es:

A continuación se presenta el tipo de gráfico que se denomina cardioide. Para este ejemplo se presenta una cardioide simétrica con respecto al eje poplar y que apunta hacia la derecha. Podemos observar que se distingue una figura como de un corazón , razón por la cual se llama este gráfico cardioide. La función que lo ha generado es:

LIMACONES O CARACOLES

Limaçon viene del latín limax que significa caracol. El caracol de Pascal, lo descubrió Etienne Pascal padre de Blaise Pascal en la primera mitad del siglo XVII y el nombre se lo dio  Roberval en 1650 cuando la usó como ejemplo para mostrar su método para trazar tangentes. Un limaçon o las gráficas polares que generan limaçones son las funciones en coordenadas polares con la forma:

r = 1 + b cos 

Ahora veamos un ejemplo concreto de un gráfico de este tipo, donde se muestra un caracol que apunta hacia la derecha y que tiene un lazo interior. La función para este gráfico es la siguiente:

EJERCICIO.

TERCER PARCIAL

Sistema Polar

Realiza las conversiones entre coordenadas polares y las rectangulares.

Un sistema polar se compone por ejes perpendiculares que cuentan con proyecciones para ubicar un punto en un plano, un sistema polar cuenta con círculos con céntricos que representan la magnitud y radios homogéneos que representan en Angulo de inclinación.

Para calcular un punto en coordenadas polares se utilizan las siguientes ecuaciones:

Para convertir una coordenada rectangular en polar se emplean las siguientes ecuaciones:

TERCER PARCIAL

Hipérbola

Identificar los elementos de la hipérbola.

a= distancia centro al vértice
b= distancia del centro al eje transverso
c=distancia del centro al foco

Eje conjugado= 2a  
Eje transverso =2b

Focos (c , a ) y (-c , 0)

Vértices (a , 0) y (-a , 0)

Grafique e indique la ecuación general de la hipérbola con vértice en los puntos (-3 , 2) y (3 , 2), si uno de sus focos se encuentra en el punto (5,2)

TERCER PARCIAL

Elipse

Representar Gráfica y matemáticamente una elipse.

Un terreno tiene un frente de 50 metros de Este a Oeste y una profundidad de 30 metros de Norte a Sur.
Si se desean sembrar árboles en forma elíptica que toque a la mitad en cada uno de los lados y se desea colocar dos caminos en forma análoga y los arboles rectos, indique la longitud total de los caminos y la ecuación general de los arboles.  

TERCER PARCIAL

Elipse

Identificar los elementos de la elipse con centro fuera del origen.

Ejemplo.
Una elipse tiene centro en el punto (4,1)si su vértice se encuentra en el punto (4,6) y su eje menor tiene un valor de 6 unidades. Grafique sus elementos e indique su ecuación general.

TERCER PARCIAL.

Elipse

Identificar los elementos de la elipse 

Una elipse se define como una cónica formada cuando se realiza un corte en diagonal a un cono, en forma análoga a la parábola. Es una cónica formada por dos parábolas que cuentan con el mismo eje simétrico y su concavidad es opuesta.

Sus elementos importantes son:

• -          Vértice
• -          Foco
• -          Lado Recto
• -          Eje mayor ( distancia entre vértices)
• -          Eje menor (ancho de la parábola)
• -          Directriz
• -          Excentricidad

Para calcular los elementos de una parábola cuando el centro se encuentra en el origen se debe identificar los valores de la distancia del foco al centro y la distancia del centro al eje menor (a, b, c)

Las ecuaciones matemáticas utilizadas en esta cónica se representan en el siguiente esquema.

TIPOS DE PARÁBOLA

ECUACIÓN GENERAL DE LA PARÁBOLA.

Aceptamos el significado de general como la parábola cuyo vértice no está situado en el origen de coordenadas.

Supongamos que el vértice de una parábola cuando su eje focal es paralelo al eje Y se halla situado en el punto (h,k).

Para llegar a dicha expresión o forma general, es necesario desarrollar  algebraicamente la forma ordinaria o canónica de la ecuación.

Tomando como ejemplo la forma:

(x – h)² = 4p(y – k)

Desarrollando resulta:

x² – 2hx + h² = 4py – 4pk

x² – 2hx + h² – 4py + 4pk = 0

Multiplicando la ecuación por un coeficiente “A” con la intención de generalizar, y considerando A ≠ 0, tendremos:

Ax² – 2Ahx + Ah² – 4Apy + 4Apk = 0

Reordenando:

Ax² – 4Apy – 2Ahx – Ah² + 4Apk = 0

Ax² – 4Apy – 2Ahx + A(h² + 4pk) = 0

Haciendo que los coeficientes de las variables sean:

–4Ap = B

–2Ah = C

A(h² + 4pk) = D

Sustituyendo los coeficientes B, C y D en la ecuación, nos queda

Ax2 + Bx + Cy + D = 0

que es la ecuación de una parábola horizontal en su forma general.

Análogamente, para una parábola de orientación vertical, la ecuación en su forma general será:

Ay2 + Bx + Cy + D = 0

 EJEMPLO.

Una parábola tiene vértice en el punto (–4, 2), y su directriz es y = 5, encuentre su ecuación y exprésela en la forma general.

Desarrollo

Analizando las coordenadas del vértice y la posición de la directriz, se puede concluir que:

a) La directriz es paralela al eje de las abscisas, por lo tanto la posición de la parábola es vertical.

b) La directriz corta al eje de las ordenadas en un valor (5) mayor que la ordenada del vértice (2), por lo tanto la parábola se  abre hacia abajo (sentido negativo del eje de las Y).

c) Las coordenadas del vértice no corresponden con las del origen.

d) Dado lo anterior, se trata entonces de una parábola cuya ecuación ordinaria o canónica es del tipo:

(x – h)2 = –4p (y – k)

De las coordenadas del vértice se obtiene:

h = –4

k = 2

Se obtiene p por diferencia entre las ordenadas del vértice y de la directriz, resultando:

p = 5 – 2

p = 3

Sustituyendo valores en la ecuación ordinaria, resulta:

(x – h)² = –4p(y – k)

(x – (–4))² = –4 (3) (y – (+2))

(x + 4)² = –12(y – 2)

(x + 4)² = –12y + 24

Desarrollando el binomio al cuadrado

(x + 4) (x + 4) = x² + 8x + 16

x² + 8x + 16 = +12y – 24

Simplificando e igualando a cero la ecuación se tiene:

x² + 8x + 16 + 12y – 24 = 0

x² + 8x + 12y – 8 = 0

Que es la ecuación buscada.

Calcular los parámetros de la parábola  si nos dan su ecuación general.

Reducción de la ecuación de una parábola

Dada una ecuación del tipo

Ax² + Bx + Cy + D = 0

o del tipo

Ay² + Bx + Cy + D = 0,

siempre es posible reducir la ecuación de una parábola. Para ello se completa un cuadrado y se manipula adecuadamente el otro miembro.

TIPOS DE PARÁBOLA

PARÁBOLA CON CENTRO FUERA DEL ORIGEN.

Parábola Horizontal con Vértice V(h,k) fuera del origen, eje de simetría paralelo al de coordenadas X, y cuyo Foco está a una distancia p del vértice y a la derecha de él.
Como la distancia PF = distancia PM = Ecuación de la Directriz

Elevando al cuadrado ambos miembros:

[X - (h + p)]2 + (y - k)2 = [X - (h - p)]2

Desarrollando y simplificando

X2 - 2X(h + p) + (h + p)2 + (y - k)2 = X2 - 2X(h - p) + (h - p)2

X2 - 2X(h + p) + h2 + 2hp + p2 + (y - k)2 = X2 - 2X(h - p) + h2 - 2hp + p2

X2 - 2Xh - 2Xp + h2 + 2hp + p2 + (y - k)2 = X2 - 2Xh + 2Xp + h2 - 2hp + p2

-2Xp + 2hp + (y - k)2 = 2Xp - 2hp

(y - k)2 = 2Xp - 2hp - 2Xp + 2hp

(y - k)2 = 4Xp - 4hp

(y - k)2 = 4p(X - h)

Si desarrollamos la ecuación anterior, se obtiene:

y2 - 2yk + k2 = 4xp - 4hp

y2 - 2yk + k2 + 4hp - 4xp = 0

Si D = -2k, E = - 4p, F = k2 + 4hp, se obtienen la fórmula:

y2 + Dy +Ex + F = 0

Parábola Vertical de Vértice V(h,k) fuera del Origen, eje de simetría paralelo al eje Y, y cuyo Foco está a una distancia p del Vértice:

Aplicando la PF= PM = Ecuación de la Directriz

Elevando al cuadrado y simplificando:

(X - h)2 + [y - (k + p)]2 = [y - (k - p)]2

(X - h)2 + y2 - 2y(k + p) + (k + p)2 = y2 - 2y(k - p) + (k - p)2

(X - h)2 + y2 - 2yk - 2yp + k2 + 2kp + p2 = y2 - 2yk + 2yp + k2 - 2kp + p2

(X - h)2 - 2yp + 2kp = 2yp - 2kp

(X - h)2 = 2yp - 2kp + 2yp - 2kp

(X - h)2 = 4yp - 4kp

(X - h)2 = 4p(y - k)

Desarrollando el binomio y simplificando la ecuación anterior se tiene:

X2 - 2xh + h2 = 4yp - 4kp

X2 - 2xh + h2 - 4yp + 4kp = 0

Haciendo D = -2h, E = -4p, F = 4kp + h2, se obtiene la ecuación:

X2 + Dx + Ey + F = 0

EJEMPLO.

Obtener la ecuación, el foco y la directriz de la parábola  con vértice en el origen y  contiene al punto B(3,4), además su eje focal es paralelo al eje X. 

Resolución:  Sustituyendo las coordenadas del punto B en la ecuación.

y   =  4px :

16 = 4p(3)

p=16/12=4/3

y2= 16/3x

Foco:   F (4/3,0) Directriz: x= -4/3

TIPOS DE PARÁBOLA

PARÁBOLA CON VÉRTICE EN EL ORIGEN. 

Una parábola cuyo vértice está en el origen y su eje coincide con el eje de las ordenadas, tiene una ecuación de la forma y=ax2 donde el parámetro a especifica la escala de la parábola, incorrectamente descrita como la forma de la parábola, ya que como se dijo antes, todas las parábolas tienen la misma forma. Cuando el parámetro es positivo, la parábola se abre «hacia arriba» y cuando es negativo se abre «hacia abajo».

 

Consideremos el caso especial en que el vértice es (0,0) y el foco es (P,0). La directriz es por tanto, la recta vertical que pasa por (-P,0). A la distancia entre el vértice y el foco se le llama distancia focal, de modo que en este caso la distancia focal es igual a p. Con esta configuración se tiene:

 

La ecuación de una parábola con vértice en (0,0). A continuación se muestran las fórmulas que se utilizan para el cálculo de ecuaciones, coordenadas del foco y la directriz.  

                                                                                

 

NOTA: Recuerda que siempre la parábola va a abrir hacia donde esta el foco por lo que si el foco tiene coordenadas negativas puede abrir hacia abajo o hacia la izquierda, sin embargo si el foco es positivo puede abrir hacia arriba o hacia la derecha.

EJEMPLO.

Dada la parábola y cuadrada = 8x calcular su vértice, su foco y la recta directriz.

2p= 8  p/2 = 2

V (0,0)             F (2,0)                x= -2

PARÁBOLA

LA PARÁBOLA.

Definición.

Es el lugar geométrico de los puntos del plano tales que sus distancias a un 

punto fijo llamado foco y a una recta fija llamada directriz son iguales.

 

Características geométricas.

Vértice.  Es el punto donde la parábola corta a su eje focal. 

Foco. Es un punto que se encuentra situado sobre el eje focal y la distancia 

que se encuentra del vértice al foco, es la misma que del vértice a la Directriz.

Lado recto. La cuerda, perpendicular al eje focal, que contiene al foco y corta a 

dos puntos de la parábola.

Directriz.  Línea recta  donde la  dist (P, F)= dist (P, D);  PF PD = . Ver figura 1. 

Eje focal.   Recta que contiene  el foco y es perpendicular a la directriz. 

Parámetro p. Distancia del foco al vértice.

CIRCUNFERENCIA Y SUS ECUACIONES

Circunferencia y sus ecuaciones

Para empezar este tema, vamos a definir qué es una circunferencia:

Circunferencia: Es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistas de un punto fijo llamado centro.

En palabras más sencillas, es una figura donde todos  los puntos se encuentran a una misma distancia del centro

El círculo es muy usado en la actualidad y tiene muchos usos, en geometría analítica lo representamos con dos fórmulas, la fórmula canónica de la circunferencia y la forma general de la ecuación de la circunferencia.

1-Forma canónica de la circunferencia

Esta fórmula es muy sencilla, es la siguiente:



Esta fórmula nos indica dos cosas:

El centro del a circunferencia, indicado por h y k, donde estos números serían las coordenadas del centro C(h,k); también nos indica el radio, representado por R . Si quisiéramos saber cuál es el centro y su radio, haríamos lo siguiente

(x-4)2 + (y +3)2= 9

Para sacar el centro, tomamos los números que están entre paréntesis, que son los valores de h y k. Como en la forma canónica tenemos un signo negativo enfrente de los números, eso nos quiere decir que para tener el centro basta con tomar los números entre paréntesis con su signo contrario, por lo que el centro sería:

(4,-3)

Ahora, para sacar el radio es todavía más sencillo, simplemente tomamos el número que está seguido del signo igual y sacamos su raíz cuadrada, hacemos esto porque en la forma canónica tenemos R2,  por los que si quisiéramos saber el valor del radio sólo basta con hacer lo siguiente:

√9 = 3

R= 3

En caso de que el centro fuera el origen (0,0), la fórmula queda de la siguiente manera:

2-Forma general de la circunferencia

La forma general de la circunferencia es la siguiente:



Ésta surge de desarrollar la forma canónica, aquí tenemos el despeje:

(x – h)2 + (y – k)2 = r2

Lo que tenemos aquí son dos binomios al cuadrado, y un binomio al cuadrado desarrollado queda de la siguiente manera:

(a + b)2 = a2 + 2ab +  b2

(a – b)2 = a2 – 2ab +  b2

Por lo que siguiendo estas reglas nos queda

x2 – 2hx + h2 +y2 -2ky + k2 = r2

x2 – 2hx + h2 +y2 -2ky + k2 –  r2 =0

Si lo ordenamos queda:

x2 + y2 – 2hx – 2ky + (h2 + k2 – r2) = 0

Y si a=2h              b= – 2k      y        c= h2 + k2 – r2

Entonces si queda

x2 + y2 +ax + by + c =0

3-Convertir de forma general a forma canónica

Para hacer esto, se sigue el siguiente procedimiento, aquí tenemos un ejemplo:

x2 + y2 -14x -20y + 68 = 0

Lo primero que hacemos es que juntamos las x con las x y las y con las y y pasamos el término libre al otro lado

x2 -14x + y2-20y = – 68

Ahora vamos a dividir los coeficientes de x y y lo elevamos al cuadrado, en este caso 14 y 20, tendríamos:

14/2 = 7

72 = 49

20/2= 10

102= 100

Lo que vamos a hacer con estos números es completar el trinomio cuadrado perfecto (El resultante de desarrollar (a2 + b2)) y también pasar esos números al otro lado de la ecuación.

(x2 -14x +49) + ( y2-20y + 100) = – 68 + 49 + 100

Ahora factorizamos los trinomios cuadrados perfectos y sumamos el otro lado de la ecuación, para factorizar un trinomio cuadrado perfecto simplemente sacamos las raíces cuadradas de los extremos y tomamos el símbolo del segundo término:

a2 + 2ab +  b2 =(a + b)2

a2 – 2ab +  b2 =(a – b)2

Entonces tenemos:

(x – 7)2 + (y – 10)2 =81

4-Datos importantes

Si  el radio es positivo, entonces la circunferencia es real.

Si el radio es negativo, la circunferencia es imaginaria.

Si el radio es cero, entonces la fórmula sólo está representando al punto (h,k)

RECTA SUBTEMAS

FORMA REDUCIDA.

Apoyándonos de las anteriores formas de ecuación de la recta, llegaremos a la siguiente forma que es la ecuación reducida.

FORMULA.

x/a + y/b = 1

y - y1 / x - x1 = y1 - y2/ x1 - x2

y - 2/ x - 3  =  3/-3 

y - 2 / x - 3 = -1

y - 2 = -1 (x-3) Ec. Pto, P

y - y1 = m (x-x1)

y= -x + 3 + 2 

y= -x + 5 P.O.O

y= mx + b

m= -1

b= 5

x + y - 5 = 0 Ec. Gral

De la ecuación general.

x + y - 5 = 0

x + 0 - 5 = 0

x - 5 = 0

x = 5

x/a + y/b = 1

x/5 + y/5 = 1 Ec. Reducida

RECTA APLICACIÓN

PROBLEMAS DE APLICACIÓN.

Para resolver un problema de aplicación se debe diseñar un esquema que muestre gráficamente las variables del problema y posteriormente indicar el modelo matemático del problema.

EJEMPLO.

Un edificio de 40 mts de altura une su punto mas alto con otro edificio de 32 mts de altura que se encuentra separado a una distancia de 30 mts indique la ecuación pendiente ordenada al origen que describe la unión de los 2 edificios. Indique la altura de la recta a 10 mts del edificio más alto.

Solución:

 Utilizaremos la formula 

Y - Y1/ X - X1  =  Y1 - Y2/ X1 - X2

y - 40 / x - 0 = 40 - 32 / 0 - 50 

y - 40 / x - 0 = 8/ -50

y= -4/ 25 (10) + 40 

y = -40/ 25 + 40

y= 38.4 m 

La altura a 10 mts del edificio es de 38.4 mts

RECTA SUBTEMAS

ECUACIÓN PUNTO PENDIENTE

Partiendo de la ecuación continua la recta

Y quitando denominadores:

Y despejando:

Como:

Se obtiene:

      

EJEMPLO.

Una recta pasa por el punto (-3, -5) y el punto (2,1), indique las 4 formas de la recta y grafique.

y + 5/x - 3   -   -5 - 1/ 3 - 2

y + 5 = (x-3) (-6/5)

y + 5 = -6/5x + 18/5

y= -6/5x + 7/5 P.O.O

6/5x  +  y -7/5 = 0 Ec. Gral

y + 5 = -6/5 (x-3) Ec. Pto. P

Se gráfica de la siguiente manera.