TERCER PARCIAL

ECUACIONES EN SISTEMAS POLARES.

OBJETIVO. Graficar caracoles, rosas, lemins catas y espirales.

ECUACIONES.

·         CARACOLES        r= a ± b cos Ɵ

                                r= a ± b sen Ɵ

CASO I                  Cardiodes                IaI = (b)

CASO II                Caracol sin rizo       IaI ˃ IbI

CASO III              Caracol con rizo     IaI  ˂ IbI

·         

     ROSAS                     r= a cos (nƟ)

                                  r= a sen (nƟ)

n= par                      petalos = 2n

n= impar                 petalos = n

·         

      LEMINSCATAS       r ² = a cos2Ɵ

                                    r² = a sen2Ɵ

·         

      ESPIRALES             r= aƟ

EJEMPLOS.

ROSA DE CUATRO HOJAS/PÉTALOS

Este tipo de gráfico se conoce como Rosa de cuatro pétalos. Es fácil ver cómo se forma una figura parecida a una rosa con cuatro pétalos. La función para este gráfico es:

A continuación se presenta el tipo de gráfico que se denomina cardioide. Para este ejemplo se presenta una cardioide simétrica con respecto al eje poplar y que apunta hacia la derecha. Podemos observar que se distingue una figura como de un corazón , razón por la cual se llama este gráfico cardioide. La función que lo ha generado es:

LIMACONES O CARACOLES

Limaçon viene del latín limax que significa caracol. El caracol de Pascal, lo descubrió Etienne Pascal padre de Blaise Pascal en la primera mitad del siglo XVII y el nombre se lo dio  Roberval en 1650 cuando la usó como ejemplo para mostrar su método para trazar tangentes. Un limaçon o las gráficas polares que generan limaçones son las funciones en coordenadas polares con la forma:

r = 1 + b cos 

Ahora veamos un ejemplo concreto de un gráfico de este tipo, donde se muestra un caracol que apunta hacia la derecha y que tiene un lazo interior. La función para este gráfico es la siguiente:

EJERCICIO.

TERCER PARCIAL

Sistema Polar

Realiza las conversiones entre coordenadas polares y las rectangulares.

Un sistema polar se compone por ejes perpendiculares que cuentan con proyecciones para ubicar un punto en un plano, un sistema polar cuenta con círculos con céntricos que representan la magnitud y radios homogéneos que representan en Angulo de inclinación.

Para calcular un punto en coordenadas polares se utilizan las siguientes ecuaciones:

Para convertir una coordenada rectangular en polar se emplean las siguientes ecuaciones:

TERCER PARCIAL

Hipérbola

Identificar los elementos de la hipérbola.

a= distancia centro al vértice
b= distancia del centro al eje transverso
c=distancia del centro al foco

Eje conjugado= 2a  
Eje transverso =2b

Focos (c , a ) y (-c , 0)

Vértices (a , 0) y (-a , 0)

Grafique e indique la ecuación general de la hipérbola con vértice en los puntos (-3 , 2) y (3 , 2), si uno de sus focos se encuentra en el punto (5,2)

TERCER PARCIAL

Elipse

Representar Gráfica y matemáticamente una elipse.

Un terreno tiene un frente de 50 metros de Este a Oeste y una profundidad de 30 metros de Norte a Sur.
Si se desean sembrar árboles en forma elíptica que toque a la mitad en cada uno de los lados y se desea colocar dos caminos en forma análoga y los arboles rectos, indique la longitud total de los caminos y la ecuación general de los arboles.  

TERCER PARCIAL

Elipse

Identificar los elementos de la elipse con centro fuera del origen.

Ejemplo.
Una elipse tiene centro en el punto (4,1)si su vértice se encuentra en el punto (4,6) y su eje menor tiene un valor de 6 unidades. Grafique sus elementos e indique su ecuación general.

TERCER PARCIAL.

Elipse

Identificar los elementos de la elipse 

Una elipse se define como una cónica formada cuando se realiza un corte en diagonal a un cono, en forma análoga a la parábola. Es una cónica formada por dos parábolas que cuentan con el mismo eje simétrico y su concavidad es opuesta.

Sus elementos importantes son:

• -          Vértice
• -          Foco
• -          Lado Recto
• -          Eje mayor ( distancia entre vértices)
• -          Eje menor (ancho de la parábola)
• -          Directriz
• -          Excentricidad

Para calcular los elementos de una parábola cuando el centro se encuentra en el origen se debe identificar los valores de la distancia del foco al centro y la distancia del centro al eje menor (a, b, c)

Las ecuaciones matemáticas utilizadas en esta cónica se representan en el siguiente esquema.

TIPOS DE PARÁBOLA

ECUACIÓN GENERAL DE LA PARÁBOLA.

Aceptamos el significado de general como la parábola cuyo vértice no está situado en el origen de coordenadas.

Supongamos que el vértice de una parábola cuando su eje focal es paralelo al eje Y se halla situado en el punto (h,k).

Para llegar a dicha expresión o forma general, es necesario desarrollar  algebraicamente la forma ordinaria o canónica de la ecuación.

Tomando como ejemplo la forma:

(x – h)² = 4p(y – k)

Desarrollando resulta:

x² – 2hx + h² = 4py – 4pk

x² – 2hx + h² – 4py + 4pk = 0

Multiplicando la ecuación por un coeficiente “A” con la intención de generalizar, y considerando A ≠ 0, tendremos:

Ax² – 2Ahx + Ah² – 4Apy + 4Apk = 0

Reordenando:

Ax² – 4Apy – 2Ahx – Ah² + 4Apk = 0

Ax² – 4Apy – 2Ahx + A(h² + 4pk) = 0

Haciendo que los coeficientes de las variables sean:

–4Ap = B

–2Ah = C

A(h² + 4pk) = D

Sustituyendo los coeficientes B, C y D en la ecuación, nos queda

Ax2 + Bx + Cy + D = 0

que es la ecuación de una parábola horizontal en su forma general.

Análogamente, para una parábola de orientación vertical, la ecuación en su forma general será:

Ay2 + Bx + Cy + D = 0

 EJEMPLO.

Una parábola tiene vértice en el punto (–4, 2), y su directriz es y = 5, encuentre su ecuación y exprésela en la forma general.

Desarrollo

Analizando las coordenadas del vértice y la posición de la directriz, se puede concluir que:

a) La directriz es paralela al eje de las abscisas, por lo tanto la posición de la parábola es vertical.

b) La directriz corta al eje de las ordenadas en un valor (5) mayor que la ordenada del vértice (2), por lo tanto la parábola se  abre hacia abajo (sentido negativo del eje de las Y).

c) Las coordenadas del vértice no corresponden con las del origen.

d) Dado lo anterior, se trata entonces de una parábola cuya ecuación ordinaria o canónica es del tipo:

(x – h)2 = –4p (y – k)

De las coordenadas del vértice se obtiene:

h = –4

k = 2

Se obtiene p por diferencia entre las ordenadas del vértice y de la directriz, resultando:

p = 5 – 2

p = 3

Sustituyendo valores en la ecuación ordinaria, resulta:

(x – h)² = –4p(y – k)

(x – (–4))² = –4 (3) (y – (+2))

(x + 4)² = –12(y – 2)

(x + 4)² = –12y + 24

Desarrollando el binomio al cuadrado

(x + 4) (x + 4) = x² + 8x + 16

x² + 8x + 16 = +12y – 24

Simplificando e igualando a cero la ecuación se tiene:

x² + 8x + 16 + 12y – 24 = 0

x² + 8x + 12y – 8 = 0

Que es la ecuación buscada.

Calcular los parámetros de la parábola  si nos dan su ecuación general.

Reducción de la ecuación de una parábola

Dada una ecuación del tipo

Ax² + Bx + Cy + D = 0

o del tipo

Ay² + Bx + Cy + D = 0,

siempre es posible reducir la ecuación de una parábola. Para ello se completa un cuadrado y se manipula adecuadamente el otro miembro.